Конечная математика Примеры

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Этап 1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Этап 2

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 | x | = - x^{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 | x | = - x^{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 | x | = - x^{2}$ на $3$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $| x |$ на $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 6.2

Умножим обе части на $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{3}$ в числитель.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x = - x^{2}$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x + x^{2} = 0$

Этап 6.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$3 u + u^{2} = 0$

Этап 6.4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $3 u + u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Этап 6.4.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 3 + u \cdot u$ .

$u (3 + u) = 0$

Этап 6.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Этап 6.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Этап 6.4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.4.5

Приравняем $3 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Приравняем $3 + x$ к $0$ .

$3 + x = 0$

Этап 6.4.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 + x) = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 6.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Этап 6.6

Умножим обе части на $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Этап 6.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x = x^{2}$

Этап 6.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 x - x^{2} = 0$

Этап 6.8.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$3 u - u^{2} = 0$

Этап 6.8.2.2

Вынесем множитель $u$ из $3 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Этап 6.8.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Этап 6.8.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Этап 6.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Этап 6.8.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Этап 6.8.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.8.5

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 6.8.5.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 6.8.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.8.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.8.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.8.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 6.8.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 6.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 0, - 3, 3$

Этап 7

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 18$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $10$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Истина

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 < x < 0$ или $0 < x < 3$ или $x > 3$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 15